第四章 几何的初步知识

一、线和角

（一） 线

1、直线

直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

2、射线

射线只有一个端点；长度无限。

3、线段

线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

4、平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条平行线之间的垂线长度都相等。

5、垂线

两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足；从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

（二）角

1. 从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
2. 角的分类

• 锐角：小于 90° 的角叫做锐角。直角：等于 90° 的角叫做直角。
• 钝角：大于 90° 而小于 180° 的角叫做钝角。
• 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角 180°。
• 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是 360°。

二、平面图形

（一）长方形

1、特征

对边相等，4 个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

2、计算公式

假设：长为 a, 宽为 b，则：

周长：$c=2\times (a+b)$

面积：$s=a\times b$

（二）正方形

1、特征

四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。

2、计算公式

假设：边长为 a，则：

周长为：

$$c=4\times a$$

面积为：

$$s=a^2$$

（三）三角形

1、特征

由三条线段围成的图形。内角和是 180 度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

2、计算公式

$$s=\frac{a\times h}{2}$$

3、分类

（1）按角分

锐角三角形 ：三个角都是锐角。
直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为 45 度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。

（2）按边分

不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是 60 度；有三条对称轴。

（四）平行四边形

1、特征

• a）两组对边分别平行的四边形。
• b）相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为 180 度。平行四边形容易变形。

2、计算公式

假设：边长为 a，高为 h，则面积 s 为：

$$s=a\times h$$

（五）梯形

1、特征

1. 只有一组对边平行的四边形。
2. 中位线等于上下底和的一半。
3. 等腰梯形有一条对称轴。

2、公式

假设：上底为 a，下底为 b，高为 h，则面积 s 为：

$$s=\frac{(a+b)\times h}{2}$$

（六）圆

1、圆的认识

• a）平面上的一种曲线图形。
• b）圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 O 表示。
• c）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用 r 表示；在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
• d）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d 表示。
• e）同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
• f）同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即 $d=2\times r$。
• g）圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。

2、圆的画法

1. 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
2. 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
3. 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

3、圆的周长

1. 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
2. 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母 $\pi$ 表示。

4、圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

5、计算公式

$$d=2\times r$$$$r=\frac{d}{2}$$$$c=d\times \pi$$$$c=2\times r\times \pi$$$$s=\pi \times r^2$$

（七）扇形

1、扇形的认识

1. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
2. 圆上 AB 两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。
3. 顶点在圆心的角叫做圆心角，通常计为 n。
4. 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
5. 扇形有一条对称轴。

2、计算公式

$$s=\frac{\pi \times r^2\times n}{360}$$

（八）环形

1、特征

由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

2、计算公式

假设：外圆半径为 R，内圆半径为 r，则面积 s 为：

$$s=(R^2-r^2)\times \pi$$

（九）轴对称图形

特征

1. 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
2. 正方形有 4 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴。
3. 等腰三角形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。
4. 等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
5. 菱形有 4 条对称轴，扇形有一条对称轴。

三、立体图形

（一）长方体

1、特征

1. 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
2. 相对的面面积相等，12 条棱相对的 4 条棱长度相等，有 8 个顶点。
3. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
4. 两个面相交的边叫做棱。
5. 三条棱相交的点叫做顶点。
6. 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
7. 长方体或者正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。

2、计算公式

$$s=2\times (a\times b+a\times h+b\times h)$$$$v=s\times h$$$$v=a\times b\times h$$

（二）正方体

1、特征

1. 六个面都是正方形
2. 六个面的面积相等
3. 12 条棱，棱长都相等
4. 有 8 个顶点
5. 正方体可以看作特殊的长方体

2、计算公式

1. 表面积：$$s_{\mathrm{表}}=6\times a^2$$
2. 体积：$$v=a^3$$

（三）圆柱

1、圆柱的认识

1. 圆柱的上下两个面叫做底面。
2. 圆柱有一个曲面叫做侧面。
3. 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
4. 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位进 1。这种取近似值的方法叫做进一法。

2、计算公式

$$s_{\mathrm{侧}}=c\times h$$$$s_{\mathrm{表}}=s_{\mathrm{侧}}+2\times s_{\mathrm{底}}$$$$v=s\times h$$

（四）圆锥

1、圆锥的认识

1. 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
2. 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
3. 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
4. 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2、计算公式

$$v=\frac{s\times h}{3}$$

（五）球

1、认识

1. 球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
2. 球和圆类似，也有一个球心，用 O 表示。
3. 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用 r 表示，每条半径都相等。
4. 通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用 d 表示，每条直径都相等，直径的长度等于半径的 2 倍，即 d=2r。

2、计算公式

$$s=4\times r^2\times \pi =d^2\times \pi$$$$v=\frac{4}{3}\times r^3\times \pi$$