第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

（一）用字母表示数的意义和作用

用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

（二）用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

1、常见的数量关系

1. 路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间的关系：

$$s=v\times t$$$$v=\frac{s}{t}$$$$t=\frac{s}{v}$$

2. 总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系：

$$a=b\times c$$$$b=\frac{a}{c}$$$$c=\frac{a}{b}$$

2、运算定律和性质

• 加法交换律：$a+b=b+a$
• 加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
• 乘法交换律：$a\times b=b\times a$
• 乘法结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 乘法分配律：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$
• 减法的性质：$a-(b+c)=a-b-c$

3、用字母表示几何形体的公式

1. 长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示：

$$c=2\times (a+b)$$$$s=a\times b$$

2. 正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示，则：

$$c=4\times a$$$$s=a\times a=a^2$$

3. 平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用 s 表示：$s=a\times h$
4. 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 s 表示：$s=\frac{a\times h}{2}$
5. 梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位线用 m 表示，面积用 s 表示，则：

$$s=\frac{(a+b)\times h}{2}$$$$s=m\times h$$

6. 圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示，则：

$$c=d\times \pi =2\times r\times \pi$$$$s=\pi \times r^2$$

7. 扇形的半径用 r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用 s 表示，则：

$$s=\frac{\pi \times r^2\times n}{360}$$

8. 长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 s 表示，体积用 v 表示，则：

$$v=s\times h$$$$s=2\times (a\times b+a\times h+b\times h)$$$$v=a\times b\times h$$

9. 正方体的棱长用 a 表示，底面周长 c 用表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示，则：

$$s=6\times a^2$$$$v=a^3$$

10. 圆柱的高用 h 表示，底面周长用 c 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示，则：

$$s_{\mathrm{侧}}=c\times h$$$$s_{\mathrm{表}}=s_{\mathrm{侧}}+2\times s_{\mathrm{底}}$$$$v=s\times h$$

11. 圆锥的高用 h 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示，则：

$$v=\frac{s\times h}{3}$$

（三）用字母表示数的写法

1. 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
2. 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
3. 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
4. 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

（四）将数值代入式子求值

1. 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
2. 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程

方程和方程的解

1、方程

1. 含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可）
2. 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立。

2、方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的过程叫做解方程。

四、列方程解应用题

（一）列方程解应用题的意义

用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

（二）列方程解答应用题的步骤

1. 弄清题意，确定未知数并用 x 表示；
2. 找出题中的数量之间的相等关系；
3. 列方程，解方程；
4. 检查或验算，写出答案。

（三）列方程解应用题的方法

1、综合法

先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。

2、分析法

先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

（四）列方程解应用题的范围

小学范围内常用方程解的应用题：

1. 一般应用题；
2. 和倍、差倍问题；
3. 几何形体的周长、面积、体积计算；
4. 分数、百分数应用题；
5. 比和比例应用题。

五、比和比例

（一）比的意义和性质

1、比的意义

1. 两个数相除又叫做两个数的比
2. “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3. 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
4. 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
5. 比的后项不能是零。
6. 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2、比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比

1. 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
2. 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4、比例尺

1. 图上距离：实际距离=比例尺
2. 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
3. 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

5、按比例分配

1. 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
2. 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

（二）比例的意义和性质

1、比例的意义

1. 表示两个比相等的式子叫做比例。
2. 组成比例的四个数，叫做比例的项。
3. 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

2、比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

3、解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

（三）正比例和反比例

1、成正比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 $\frac{y}{x}=k$（一定）

2、成反比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 $x\times y=k$（一定）